根據(jù)文獻(xiàn)可知，粗糙表面輪廓的自相關(guān)函數(shù)可表示為

式中，取樣長(zhǎng)度分別為2L1、2L2。

通過對(duì)式(1)進(jìn)行傅里葉變換獲得隨機(jī)過程模型中的功率譜密度函數(shù)為

式中：i為虛數(shù)；ex和ey分別為x和y方向上的波峰數(shù)。功率譜密度函數(shù)的譜距為

對(duì)于一個(gè)各向同性的粗糙表面，有mp0=m0p=mp，mp為粗糙表面輪廓在任意方向上的譜距。其中，零階譜距m00=m0=σ2，σ為表面粗糙度的標(biāo)準(zhǔn)偏差。

用隨機(jī)變量(λ1, λ2, λ3, λ4, λ5, λ6)表征隨機(jī)粗糙表面，各變量定義如下

Nayak推導(dǎo)出了關(guān)于這些隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為

Θ? = (2C?(α)λ?2)/m? + (9(λ?2+λ?2))/(4m?)[C?(α)-1/(2α-3)] + (3λ?2)/m? + (3C?(α)λ?(λ?+λ?))/(α m?) - (3λ?λ?)/(2m?)[C?(α)-3/(2α-3)] + (λ?2+λ?2)/m?

式中：C?(α)=α/(2α-3), α=(m? m?)/m?2, m0、m2、m4分別為零階、二階、四階譜距，α(α>1.5)為粗糙表面輪廓的帶寬。

當(dāng)表面上任意一點(diǎn)z(x, y)為最大值點(diǎn)時(shí)，則有λ2=λ3=0, λ4<0, λ6<0, λ4λ6-λ52≥0。因此，整個(gè)粗糙表面上高度為λ1的微凸體分布概率密度函數(shù)為

式中：積分區(qū)域v內(nèi)有λ4<0, λ6<0, λ4λ6-λ52≥0，通過對(duì)psum(λ1)在(-∞,∞)上積分便可獲得粗糙表面上微凸體的分布密度

微凸體的平均曲率ρ0=sqrt(λ4λ6-λ52)，為了簡(jiǎn)化分析，我們對(duì)微凸體的高度和平均曲率進(jìn)行無量綱處理

式中：λ*和ρ分別為無量綱后的微凸體高度與平均曲率。

p_sum(λ*, ρ) = 1/(4π^(3/2)) √(3α/(2(α-1))) (m?/m?) ρ3 * exp[ (3/2)ρ2 - (αλ*2)/(2(α-1)) ] * erfc( 3ηρ - (η√α)/(α-1) λ* )

式中：η=√[(α-1)/(4α-6)]；誤差函數(shù) erfc(x) = (2/√π) ∫_x^∞ exp(-y2) dy

根據(jù)Greenwood對(duì)Nayak隨機(jī)過程理論的擴(kuò)展，得到無量綱后的微凸體高度λ*和平均曲率ρ分布的概率密度函數(shù)為

2 單個(gè)微凸體的接觸模型

在研究表面張力對(duì)粗糙表面接觸特性的影響之前，需要先求解單個(gè)微凸體的計(jì)算模型。文獻(xiàn)研究表明即使在表面張力存在的情況下，單個(gè)彈性球體與一個(gè)剛性平面的接觸仍可等效為彈性半空間與單個(gè)剛性球體的接觸。因此，本文可將單個(gè)彈性球形微凸體與剛性平面的接觸等效為圖2所示的接觸模型。

圖2 剛性球形微凸體與彈性半空間的接觸

從圖2可知，笛卡爾坐標(biāo)系(O-xyz)的坐標(biāo)原點(diǎn)O建立在剛性球形微凸體與彈性半空間最初的接觸點(diǎn)處。在法向載荷F的作用下，剛性微凸體與彈性半空間產(chǎn)生接觸，并形成了接觸半徑為a的圓形接觸區(qū)域，彈性半空間的壓入深度為ω。

根據(jù)圖2的幾何關(guān)系，可得接觸區(qū)域內(nèi)彈性半空間表面的法向位移為

式中：a為真實(shí)接觸半徑；r為接觸區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)到接觸中心的垂直距離。

Hajji考慮了表面張力的影響，求解了集中力作用下彈性半空間表面的法向位移為

式中：s=2β/E*; E*=2G/(1-μ); T為集中力；β為表面張力；E*為復(fù)合彈性模量；G和μ分別為彈性半空間的剪切模量與泊松比；H0與Y0分別為0階斯特魯夫函數(shù)和第二類0階的貝塞爾函數(shù)。

針對(duì)單個(gè)微凸體的接觸模型，采用極坐標(biāo)來表征接觸區(qū)域內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)(t, φ)，t為任意一點(diǎn)到接觸中心的距離，φ為該點(diǎn)的極角。若記該點(diǎn)在載荷F作用下的接觸壓力為p(t)，則在整個(gè)接觸區(qū)域內(nèi)對(duì)p(t)進(jìn)行積分即可獲得總的接觸壓力，且法向載荷F與總的接觸壓力相等，于是有

將作用在接觸區(qū)域內(nèi)某一微元t d t dφ上的壓力視為集中力t p(t) d t dφ，則用此集中力代替式(12)中的T，即可獲得彈性半空間表面上任意點(diǎn)(r,0)的法向位移

式中：h=sqrt(r2+t2-2rt cosφ)，為壓力p(t)的作用點(diǎn)到點(diǎn)(r, 0)的距離。

為了獲得點(diǎn)(r,0)在總的壓力分布下的法向位移，則需要對(duì)式(14)在接觸區(qū)域內(nèi)進(jìn)行積分，即有

聯(lián)立式(11)與式(15)有

由式(16)可知，當(dāng)r=0時(shí)，彈性半空間的壓入深度ω可表示為