摘要:半導(dǎo)體晶體作為各類電子器件的基礎(chǔ)材料，它的發(fā)展對現(xiàn)代電子行業(yè)的發(fā)展起著重要的推動(dòng)作用。為了探索生長高品質(zhì)晶體的優(yōu)化方案，建立了半浮區(qū)液橋的三維磁流體動(dòng)力學(xué)模型，采用有限體積法數(shù)值研究了微重力環(huán)境下外加二極對非均勻旋轉(zhuǎn)磁場對液橋表面張力對流的控制作用。研究結(jié)果表明，由二極對非均勻旋轉(zhuǎn)磁場(7 mT， 50Hz)所產(chǎn)生的周向強(qiáng)迫攪拌作用，有效地提高了液橋的最大周向速度，同時(shí)抑制了液橋的最大軸向速度，該作用使無磁場作用下的三維液橋表面張力對流得到有效控制轉(zhuǎn)變?yōu)槎S軸對稱定常流動(dòng)。

半導(dǎo)體晶體是集成電路、激光器、光電器件等的主要基礎(chǔ)材料，它的革新對現(xiàn)代化工業(yè)的發(fā)展起著決定性的作用。各種晶體制備方法中，浮區(qū)法由于無坩堝容器接觸可以避免污染，是一種生長高純度晶體的優(yōu)勢技術(shù)。重力環(huán)境下，一方面由重力引起的浮力流會導(dǎo)致晶體內(nèi)產(chǎn)生微觀不均勻性(生長條紋);另一方面，由于靜壓力的作用使得浮區(qū)熔體具有足夠大的表面張力來維持熔區(qū)的穩(wěn)定，該條件限制了生長晶體的尺寸。微重力環(huán)境下，由重力場引起的負(fù)面影響得到極大程度地降低，此時(shí)熱浮力流隨著重力的降低而極度衰減，浮區(qū)法也可以突破晶體尺寸的限制生長更大的晶體。然而，微重力環(huán)境下的浮區(qū)法晶體生長中，由非平衡表面張力驅(qū)動(dòng)的表面張力流成為浮區(qū)熔體中的主要對流，也是生長高質(zhì)量大尺寸單晶的關(guān)鍵性因素之一。

微重力環(huán)境下，低Prandtl(Pr)數(shù)的硅等半導(dǎo)體熔體在浮區(qū)中隨著Marangoni(Ma)數(shù)的逐漸增大，其對流會產(chǎn)生兩次失穩(wěn)。相關(guān)研究報(bào)道該對流失穩(wěn)會影響熔體組分的分布，導(dǎo)致生長晶體中微觀條紋的產(chǎn)生，影響生長晶體的質(zhì)量。由于半導(dǎo)體熔體具有良好的導(dǎo)電性，外加磁場可以作為一種控制表面張力對流的有效手段。現(xiàn)有的磁場對流控制方法中，旋轉(zhuǎn)磁場由于其耗能小、控制效果明顯而倍受關(guān)注。

旋轉(zhuǎn)磁場根據(jù)其極對數(shù)的不同，可分為均勻旋轉(zhuǎn)磁場(含有一對南、北磁極)和非均勻旋轉(zhuǎn)磁場(二極對、三極對旋轉(zhuǎn)磁場)等。目前，浮區(qū)法結(jié)晶技術(shù)中旋轉(zhuǎn)磁場對流控制研究工作主要集中于均勻旋轉(zhuǎn)磁場。Dold等實(shí)驗(yàn)研究了浮區(qū)法結(jié)晶技術(shù)中不同強(qiáng)度的均勻旋轉(zhuǎn)磁場對摻雜硅晶體中雜質(zhì)條紋的影響，研究表明，均勻旋轉(zhuǎn)磁場作用下晶體中徑向雜質(zhì)條紋分布更加均勻、更加對稱。其數(shù)值研究結(jié)果也表明，均勻旋轉(zhuǎn)磁場作用下熔體的三維非定常流動(dòng)得到有效控制轉(zhuǎn)變?yōu)槎S軸對稱流動(dòng)。Witkowski and Walker數(shù)值研究了浮區(qū)熔體對流在不同強(qiáng)度的均勻旋轉(zhuǎn)磁場下的演化，研究報(bào)道了熔體對流由表面張力驅(qū)動(dòng)占據(jù)主控制轉(zhuǎn)為旋轉(zhuǎn)磁場洛倫茲力占據(jù)主控制時(shí)，磁場強(qiáng)度的轉(zhuǎn)變區(qū)域。Walker對均勻旋轉(zhuǎn)磁場下的浮區(qū)熔體對流進(jìn)行了線性穩(wěn)定性分析，研究報(bào)道了任一旋轉(zhuǎn)磁場作用下都存在一個(gè)臨界Re數(shù)，超過該值，浮區(qū)熔體由軸對稱定常流動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)橹芷谛哉袷幜鲃?dòng)。本課題組研究了微重力下均勻旋轉(zhuǎn)磁場對半浮區(qū)液橋表面張力對流的影響，結(jié)果表明均勻旋轉(zhuǎn)磁場可以有效地控制由表面張力增強(qiáng)而導(dǎo)致的熔體對流的兩次失穩(wěn)。目前，非均勻旋轉(zhuǎn)磁場在垂直Bridgman等晶體技術(shù)方面的應(yīng)用已有相關(guān)的報(bào)道，但是，其在浮區(qū)法晶體生長中的對流控制研究工作基本空白。

目前，外加旋轉(zhuǎn)磁場的對流控制模型主要包括無限長模型和有限長模型，有限長模型又包括有限長解析解模型和有限長-α模型。旋轉(zhuǎn)磁場無限長模型忽略了熔體流動(dòng)與磁場的耦合，僅僅考慮到洛倫茲力的周向分量，文獻(xiàn)報(bào)道了采用該模型會使計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生較大偏差。有限長解析解模型考慮了電勢對熔體流動(dòng)的影響而忽略了熔體流動(dòng)對電勢的影響，也僅保留了周向洛倫茲力。雖然由旋轉(zhuǎn)磁場所引起的周向洛倫茲力對熔體對流的影響占據(jù)主要作用，但其它方向的洛倫茲力分量也是存在的。Priede首次提出有限長-α模型，該模型考慮到旋轉(zhuǎn)磁場作用下熔體流動(dòng)與外加磁場的耦合及洛倫茲力的所有分量。理論上來說，旋轉(zhuǎn)磁場有限長-α模型具有更高的求解精度。二維軸對稱條件下，Barz等采用有限長-α模型研究了橫向旋轉(zhuǎn)磁場對柱形熔體等熱對流的影響，得到的數(shù)值結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果是一致的。

基于浮區(qū)法晶體生長中非均勻旋轉(zhuǎn)磁場對流控制研究工作鮮有的現(xiàn)狀，為了進(jìn)一步完善外加旋轉(zhuǎn)磁場對浮區(qū)熔體的對流控制的理論研究，筆者引用了有限長-α模型的思想，建立了三維磁流體動(dòng)力學(xué)模型，研究了微重力下外加二極對非均勻旋轉(zhuǎn)磁場對浮區(qū)熔體表面張力對流的控制作用。

1 物理和數(shù)學(xué)模型

半浮區(qū)液橋模型是研究浮區(qū)法晶體生長中熔體對流的一種簡化模型，該模型由上下兩個(gè)不同固定溫度的同心圓盤固壁和液柱自由表面組成。半浮區(qū)液橋模型可以捕捉到浮區(qū)法晶體生長中浮區(qū)熔體的主要流動(dòng)特性，因此，該模型在浮區(qū)法晶體生長的研究中得到廣泛應(yīng)用。本文所采用的圓柱型半浮區(qū)液橋模型如圖1(a)所示。液橋高度為H，半徑為R，其高徑比As=H/R=1;上下邊界分別為低溫和高溫圓形固壁(T_c 和 T_h)， ΔT = T_h - T_c > 0。由于浮區(qū)自由表面的動(dòng)力學(xué)變形相對較小，在計(jì)算中忽略了自由表面動(dòng)力學(xué)變形的影響，即假設(shè)計(jì)算過程中液橋是不變形的。液橋自由表面的表面張力假設(shè)為溫度T的線性函數(shù)，表示形式為:

σ = σ_0 - γ_T (T - T_0)

其中，σ_0是T_0溫度下的表面張力，γ_T是表面張力溫度系數(shù)(γ_T = -?σ/?T > 0)。

液橋內(nèi)熔體流動(dòng)與傳熱的控制方程包括連續(xù)性方程、動(dòng)量方程和能量方程。動(dòng)量方程中包括了由表面張力驅(qū)動(dòng)的熱毛細(xì)力和外加旋轉(zhuǎn)磁場產(chǎn)生的洛倫茲力。本文采用有限長-α模型來描述外加二極對非均勻旋轉(zhuǎn)磁場。在該模型中，假設(shè)液橋處于隨時(shí)間變化的磁場B中，磁場可由磁矢勢A的旋度表示(B = ?×A)。對于微重力下半浮區(qū)液橋外加二極對非均勻旋轉(zhuǎn)磁場的對流控制問題，在柱坐標(biāo)系(r， θ， z)下，磁場的磁矢勢A可表示為:

A = B_0 r^{p-1} [sin(pθ - ωt)e_z - cos(pθ - ωt)e_θ]

其中B_0為旋轉(zhuǎn)磁場強(qiáng)度幅值，ω為旋轉(zhuǎn)磁場旋轉(zhuǎn)角速度， ω=2πf (f為旋轉(zhuǎn)頻率)， p為旋轉(zhuǎn)磁場的極對數(shù)(p=2)， e_z、e_θ分別表示z、θ方向的單位矢量。本文所采用的二極對非均勻旋轉(zhuǎn)磁場強(qiáng)度B_0為7 mT，頻率為50 Hz。該旋轉(zhuǎn)頻率使得磁場趨膚深度遠(yuǎn)大于液橋的半徑，因此，可以假設(shè)該非均勻旋轉(zhuǎn)磁場滲透到整個(gè)液橋熔區(qū)而不發(fā)生改變。